Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} \cos (x) & - \sin (x) \\ \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

Etapa 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 2

Find the determinant.

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Etapa 2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\cos (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 2.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 2.2.1.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 2.2.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 2.2.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)$

Etapa 2.2.1.2.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)$

Etapa 2.2.1.2.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)$

Etapa 2.2.1.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}$

Etapa 2.2.1.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$

Etapa 2.2.2

Reorganize os termos.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Etapa 2.2.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1$

Etapa 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

Etapa 5

Divida $1$ por $1$ .

$1 [\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

Etapa 6

Multiplique $1$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 1 \cos (x) & 1 \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Etapa 7

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 7.1

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & 1 \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Etapa 7.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Etapa 7.3

Multiplique $- \sin (x)$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Etapa 7.4

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$